将求和转化为积分的过程，本质上是通过 “无限细分” 和 “近似替代” 的思想，把离散的求和变成一个连续的积分。以下用通俗的语言和例子解释这一过程：
一、直观理解：把求和看成“小矩形面积累加”假设你需要计算从 到 的曲线 下方的面积，但暂时不会积分。于是你想到一个方法：
把区间分成 个小段，每段宽度为 （比如 时，每段宽 ）。
每段的高度取右端点处的 值，即 （ 从 到 ）。...
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【Segment 1: Introduction to Speed’s incident】The real China was just accidentally shown by a famous Youtuber and lifestreamer. People were shocked. I’m BeeRose in China, and I’ve been l...
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仅通过调整标点符号的位置来优化句子结构
绝对保留所有原始文本内容，包括：• 用词选择• 语序排列• 非标准语法结构• 口语化表达
遵循自然语言停顿规律，按以下标准划分断句：(1) 完整语义单元优先(2) 说话者呼吸停顿处(3) 意群自然分隔点(4) 单句时长不超过4秒原则
【输出规范...
反常积分收敛性的主要判别方法，分为 无穷积分 和 瑕积分（无界函数积分） 两类瑕积分有三种判别方式，无穷积分多了两种
一、无穷积分的收敛性判别法设 为无穷积分。
1. 比较判别法
核心思想：通过与已知收敛/发散的积分比较，判断目标积分收敛性。
条件：
若存在 ，且 收敛，则 收敛。
若存在 ，且 发散，则 发散。
2. 极限比较判别法
条件：若 ：
当 ，两积分同敛散；
当...
情况
求导公式
上限是
上限是
下限是
上下限都是的函数
被积函数含
总结一下就是：
积分上限函数和积分下限函数一样；
先把上线函数代入，然后对上线求导；
上下线都有x，那就从0点拆开，然后把下限变上限，如下图
不对不对，这样就慢了，不用拆开，按公式来直接得到结果
下线的常数是多少好像不影响，该按这个套路来就按这个套路来...
【午休】我今天中午半睡半醒的时候我在大脑里边想象了一张白纸，我在写东西我发现我写了一页多，我可以回头看我都写的啥，哪个字位于哪个位置，一清二楚然后我有点吃惊，我知道我是在梦的边缘游走我想记下这个感觉，然后我想滋生出一点我自己的控制意识，然后记忆马上模糊了，那张纸想打了马赛克一样看不清了我刚才到学校我又尝试了一下这个方法，虽然效果没有梦里边好但是我能相出一句话，一个数学公式，写下了，不看纸，闭...
哎呀，其实这部分没啥总结的，全是公式的运用记录一下自己吃一堑再吃一堑又吃一堑的题型算了
type one：关于三角函数这个式子的运用以我的观察，只要出现，必用这个式子
type two：关于其他常见积分 能记起来公式就套公式，想不起来公式就令，这一道题是,也可以得出来结果 这个形式太难与这个积分公式联想起来了 暂时总结成： 分母是二次函数且没有零点的时候，第一个考虑的就是这个...
1. 幂函数积分
2. 指数函数积分
3. 三角函数积分
4. 对数函数积分
5. 反三角函数积分
6. 其他常见积分以下积分都是通过换元推出来的，所以很难记，能记还是记一下，记不住就现场推
这个不用记，令,可以直接得到结果
这俩也不用记，通过裂项可以很容易得出结果
这俩也不用记，第一个令,然后利用可以得到结果；第二个令,然后利用可以得到结果
这个更不用记了，令，连公式都不用直接...
type one：根据中值定理求极限说明：
如果分子是根号的形式，好像也可以用分子有理化解
type two：求函数的凹凸区间
一阶导的意思是
大于0，函数图像在升高
小于0，函数图像在下降
二阶导的意思是
大于0，函数图像下降的越来越缓、升高的越来越快，也就是切线在慢慢抬头
小于0，函数图像升高的越来越缓、下降的越来越快，切线在慢慢低头
所以求函数凹凸区间是看二阶导的±
大于0...
斜渐近线的公式对于函数 ，如果存在直线 满足以下条件：
斜率 的计算公式：
截距 的计算公式：如果 和 都存在且 ，则直线 是函数 的斜渐近线。
曲率的公式对于函数 ，曲率 描述了曲线在某一点的弯曲程度，其计算公式为：其中：
是函数的一阶导数，
是函数的二阶导数。
