反常积分的敛散判断

反常积分收敛性的主要判别方法，分为 无穷积分 和 瑕积分（无界函数积分） 两类
瑕积分有三种判别方式，无穷积分多了两种

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一、无穷积分的收敛性判别法

设 为无穷积分。

1. 比较判别法

• 核心思想：通过与已知收敛/发散的积分比较，判断目标积分收敛性。
• 条件：
  • 若存在 ，且 收敛，则 收敛。
  • 若存在 ，且 发散，则 发散。

2. 极限比较判别法

• 条件：若 ：
  • 当 ，两积分同敛散；
  • 当 ，若 收敛，则 收敛；
  • 当 ，若 发散，则 发散。
    具体的解释看瑕积分的极限比较判别法说明
    需要补充一点的是：如果这个无穷积分的下界不是瑕点那就光判断上界；如果下界是瑕点，那就还要判断下界，只有两个同时收敛，这个积分才收敛
    而且无穷积分的构造更简单，只需要乘以一个就行

    warning！！！

    这个和瑕积分的幂函数法刚好相反

    • 积分收敛；
    • 积分发散。
      红线是分界线，p>1的都在红线的下边，大于1往下沉
      

3. Cauchy判别法（幂函数法）

• 条件：当 时，：
  • 积分收敛；
  • 积分发散。

4. Dirichlet判别法

• 条件：若：
  • 单调趋于零（）；
  • 的积分有界（即 对任意 成立）。
• 结论： 收敛。

  Dirichlet判别法的通俗解释

  上边的东西真的有神仙能看懂吗？？？反正我是看不懂

  1. 处理振荡函数：被积函数中含有 sinx、cosx 等振荡项时，常用此方法。
  2. ​搭配衰减函数：通常与 （p>0）、 等衰减函数组合使用。

  • ​Dirichlet 判别法 像是一个“波动压制器”：只要波动幅度有限 积分有界），且压制系数不断减小（），最终结果就会收敛。
  • ​核心口诀：​一减一稳，积分收敛​（减：；稳： 积分不爆炸）。

5. Abel判别法

• 条件：若：
  • 单调有界；
  • 收敛。
• 结论： 收敛。

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二、瑕积分（无界函数积分）的收敛性判别法

设 ，且 在 处无界（瑕点）。

1. 比较判别法

• 条件：
  • 若 ，且 收敛，则 收敛。
  • 若 ，且 发散，则 发散。

2. 极限比较判别法

• 条件：若 ：
  • 两积分同敛散；
  • 若 收敛，则 收敛；
  • 若 发散，则 发散。
• 要点：
  • 是自己构造的
    • 一般会翻上去写成通式的形式
  • 通过p来判断的敛散性再判断的敛散性
    • 积分收敛；
    • 积分发散。

为什么p小于1积分收敛，大于等于1发散

就是很神奇，差了那一点点面积，g(x)在[0,1]下的面积就变成无穷了

• 例子:以积分 为例：

1. 确定奇点位置
   被积函数在 和 处可能发散：
   • ：分母含 ，判断敛散（因 ）。
   • ：分母含 ，需重点分析此处是否发散。

2. 构造极限（p的选择很重要，根据后边式子的阶数选择）

   • ：乘以也就是
     
   • ：乘以也就是
     
     这表示被积函数与 在 时 同阶。

3. 判断收敛性
   • 标准幂函数 在处收敛，但是在 处发散（因 ）。
   • 根据极限比较判别法，原积分 发散。

4. 注意事项

   1. 系数无关性：极限结果中的常数 的正负和大小不影响结论，只需关注 的值。 （求出的极限是一个负数，就当看不见负号，皇帝的负号）
   2. 多奇点处理：若积分区间内有多个奇点（如 和 ），需分别分析每个奇点的收敛性，全部收敛时积分才收敛。
   3. 边界验证：当极限结果为 或 时，需换用其他方法（如直接比较法）。

3. Cauchy判别法（幂函数法）

• 条件：当 时，：
  • 积分收敛；
  • 积分发散。

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三、总结

判别法	适用场景	关键条件
比较判别法	被积函数与已知收敛/发散的积分比较	非负函数，大小关系明确
极限比较法	被积函数与幂函数或其他简单函数渐近等价	极限存在且非零
Cauchy判别法	被积函数在无穷或瑕点附近形如幂函数	幂次决定收敛性
Dirichlet法	含振荡函数（如 ）的积分	一函数积分有界，另一函数单调趋于零
Abel判别法	被积函数为单调有界函数与收敛积分的乘积	单调有界 + 积分收敛

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四、应用要点

1. 先判断类型：区分无穷积分或瑕积分。
2. 简化被积函数：分析被积函数在积分区间端点的行为（如 或趋近瑕点）。
3. 选择合适方法：
   • 若被积函数非负，优先用比较判别法或Cauchy判别法；
   • 若含振荡函数，考虑Dirichlet或Abel判别法。
4. 注意绝对收敛性：若 的积分收敛，则原积分绝对收敛。

   Tips：如何记忆根据p判断收敛还是发散的技巧

   首先要有一个共识：指数p越大，图像增长得越快
   然后说无穷积分：，脑海中想象的图像，p越大他变化的越快（下沉的越快），和x轴围成的面积越小，积分就收敛
   then come with 瑕积分：，还是想象的图像，因为有个负号，所以图像左右反转了，然后还有个b，把翻转过去捅向y轴正无穷的图像拉到第一象限了，p越大他变化的越快（上升的越快），和x轴围成的面积变大，积分发散