从极限到积分的转化

将求和转化为积分的过程，本质上是通过 “无限细分” 和 “近似替代” 的思想，把离散的求和变成一个连续的积分。以下用通俗的语言和例子解释这一过程：

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一、直观理解：把求和看成“小矩形面积累加”

假设你需要计算从 到 的曲线 下方的面积，但暂时不会积分。于是你想到一个方法：

1. 把区间分成 个小段，每段宽度为 （比如 时，每段宽 ）。
2. 每段的高度取右端点处的 值，即 （ 从 到 ）。
3. 面积近似为所有小矩形面积之和：
   
4. **当 **，分段无限细，这个近似值就变成了精确的积分：
   

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二、具体到你的例子

题目中的极限是：

步骤1：将每一项写成“函数值 × 宽度”的形式

• 观察分母：每一项的分母是 （ 从 到 ）。
• 提取因子：将分母写成 ，即：

• 总和变为：

步骤2：识别“积分结构”

• 宽度： 对应积分中的微分 。
• 函数值： 对应函数 在 处的取值。
• 积分区间：当 从 到 时， 从 到 。因此积分区间是 。

步骤3：极限转化为积分

当 时，离散的求和变为连续的积分：

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三、积分结果

计算积分：

因此原极限的结果是 。

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四、总结

1. 核心思想：将离散的求和项视为函数在微小区间上的采样值，通过“无限细分”用积分代替求和。
2. 关键操作：
   • 提取因子 作为宽度 ；
   • 将分母中的 视为变量 ，确定积分区间；
   • 用积分符号 替换求和符号 。
3. 适用场景：当求和的项可以写成 “函数值 × 均匀宽度” 时，均可尝试转化为积分。

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类比记忆：
• 求和：像用一堆小矩形拼出面积，但不够精确；
• 积分：把矩形无限细分，得到完美贴合曲线的面积。