TongZhuo's Blog

希望明天不会忘，希望明天不会忘，希望明天不会忘 例题 解 第一步：写出特征方程求解 二阶导是平方，一阶导是一次方，一个单独的y就是常数项 r2−r=0r^2-r=0 r2−r=0 解出来r1=0,r2=1r_1=0,r_2=1r1​=0,r2​=1 然后根据这个表写出通解 Y=C1+C2exY = C_1 + C_2 e^x Y=C1​+C2​ex 特征方程 r2+pr+q=0r^2 + pr + q = 0r2+pr+q=0 的根 微分方程 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0y′′+py′+qy=0 的通解 ​两个不等实根 r1≠r2r_1 \neq r_2r1​=r2​ y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}y=C1​er1​x+C2​er2​x ​两个相等实根 r1=r2r_1 = r_2r1​=r2​ y=(C1+C2x)er1xy = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}y=(C1​+C2​x)er1​x ​共轭复根 r1,2=a±iβr_{1,2}...

记忆曲面 [x] 1st review：5.19 [ ] 2nd review: 5.20 [ ] 3rd review: 5.23 [ ] 4th review: 5.30 [ ] 5th review: 6.13 [ ] 6th review:7.13 释义列表 significant - adj. paraphrase ：very important or noticeable synonym ：important, major example ：The discovery was significant because it solved a problem scientists had studied for years. craft - n. paraphrase ：skill in making things by hand synonym ：art, skill example ：She used her craft to create pottery, which she sold at the local market every...

公式太长了，根本记不住，现在只用记一个公式μ(x)=e∫P(x)dx\mu(x) = e^{\int P(x)dx}μ(x)=e∫P(x)dx(积分因子，AI起的名字) 1. 写出标准形式 原方程： dzdx+6xz=x\frac{dz}{dx} + \frac{6}{x}z = x dxdz​+x6​z=x 符合一阶线性微分方程的标准形式： z′+P(x)z=Q(x)z' + P(x)z = Q(x) z′+P(x)z=Q(x) 其中： • P(x)=6xP(x) = \frac{6}{x}P(x)=x6​ • Q(x)=xQ(x) = xQ(x)=x 2. 计算积分因子 积分因子公式： μ(x)=e∫P(x)dx=e∫6xdx=e6ln⁡∣x∣=x6\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{6}{x}dx} = e^{6\ln|x|} = x^6 μ(x)=e∫P(x)dx=e∫x6​dx=e6ln∣x∣=x6 3. 方程两边乘以积分因子 用 μ(x)=x6\mu(x) = x^6μ(x)=x6...

type one：对称性的利用 第一个例子： 拆分积分区间 原积分为对称区间 ∫−π4π411−sin⁡xdx\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 - \sin x} dx∫−4π​4π​​1−sinx1​dx，将其拆分为两部分： ∫−π4011−sin⁡xdx+∫0π411−sin⁡xdx.\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{1 - \sin x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 - \sin x} dx. ∫−4π​0​1−sinx1​dx+∫04π​​1−sinx1​dx. 对负区间进行变量替换 对左侧积分 ∫−π4011−sin⁡xdx\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{1 - \sin x} dx∫−4π​0​1−sinx1​dx，令 x=−tx = -tx=−t（即 t=−xt = -xt=−x），则： • 积分上下限变为：x=−π4→t=π4x =...

1. sin⁡nx\sin^n xsinnx和cos⁡nx\cos^n xcosnx在[0,π2][0, \frac{\pi}{2}][0,2π​]上的积分 • nnn为偶数时： ∫0π2sin⁡nxdx=∫0π2cos⁡nxdx=(n−1)!!n!!⋅π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} ∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx=n!!(n−1)!!​⋅2π​ 例如： ∫0π2sin⁡4xdx=34⋅12⋅π2=3π16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16} ∫02π​​sin4xdx=43​⋅21​⋅2π​=163π​ •...

将求和转化为积分的过程，本质上是通过 “无限细分” 和 “近似替代” 的思想，把离散的求和变成一个连续的积分。以下用通俗的语言和例子解释这一过程： 一、直观理解：把求和看成“小矩形面积累加” 假设你需要计算从 111 到 222 的曲线 y=1xy = \frac{1}{x}y=x1​ 下方的面积，但暂时不会积分。于是你想到一个方法： 把区间分成 nnn 个小段，每段宽度为 1n\frac{1}{n}n1​（比如 n=1000n=1000n=1000 时，每段宽 0.0010.0010.001）。 每段的高度取右端点处的 yyy 值，即 y=11+kny = \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}y=1+nk​1​（kkk 从 111 到 nnn）。 面积近似为所有小矩形面积之和：面积≈∑k=1n11+kn⋅1n.\text{面积} \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n}. 面积≈k=1∑n​1+nk​1​⋅n1​. 当 n→∞n \to...

Video Link 【Segment 1: Introduction to Speed’s incident】 The real China was just accidentally shown by a famous Youtuber and lifestreamer. People were shocked. I’m BeeRose in China, and I’ve been living in China for 6 years. I am going to tell you guys about things that I have never heard any other people talking about online. So make sure to stick around until the end, because I have some shocking things to tell you. Let’s jump right into it. 【Segment 2: Speed’s background and viral...

字幕修改 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435需要您处理一份存在断句问题的从YouTube上边下载自动生成字幕文件。请您基于以下规则执行任务：1. 仅通过调整标点符号的位置来优化句子结构2. 绝对保留所有原始文本内容，包括： • 用词选择 • 语序排列 • 非标准语法结构 • 口语化表达3. 遵循自然语言停顿规律，按以下标准划分断句： (1) 完整语义单元优先 (2) 说话者呼吸停顿处 (3) 意群自然分隔点 (4) 单句时长不超过4秒原则【输出规范强化】请按以下框架组织输出：[Segment 1: title ][优化后的内容][Segment 2: title ][优化后的内容][Segment N: title ][优化后的内容]【格式强制要求】1. 保留原始文本的英文状态，禁止翻译2. 使用数字编号+主题说明作为分段标识(如[Segment 3: title ])3. 绝对禁止以下操作： • 重组语句顺序 • 增删词汇 • 修改语法结构 ...

反常积分收敛性的主要判别方法，分为 无穷积分 和 瑕积分（无界函数积分） 两类 瑕积分有三种判别方式，无穷积分多了两种 一、无穷积分的收敛性判别法 设 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞​f(x)dx 为无穷积分。 1. 比较判别法 核心思想：通过与已知收敛/发散的积分比较，判断目标积分收敛性。 条件： 若存在 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x)0≤f(x)≤g(x)，且 ∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty} g(x) dx∫a+∞​g(x)dx 收敛，则 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞​f(x)dx 收敛。 若存在 f(x)≥g(x)≥0f(x) \geq g(x) \geq 0f(x)≥g(x)≥0，且 ∫a+∞g(x)dx\int_{a}^{+\infty} g(x) dx∫a+∞​g(x)dx 发散，则 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞​f(x)dx 发散。 2....

情况 求导公式 上限是xxx F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x) 上限是u(x)u(x)u(x) F′(x)=f(u(x))⋅u′(x)F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)F′(x)=f(u(x))⋅u′(x) 下限是v(x)v(x)v(x) F′(x)=−f(v(x))⋅v′(x)F'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x)F′(x)=−f(v(x))⋅v′(x) 上下限都是xxx的函数 F′(x)=f(u(x))⋅u′(x)−f(v(x))⋅v′(x)F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)F′(x)=f(u(x))⋅u′(x)−f(v(x))⋅v′(x) 被积函数含xxx F′(x)=f(x,x)+∫ax∂f(x,t)∂xdtF'(x) = f(x, x) + \int_{a}^{x} \frac{\partial f(x, t)}{\partial x}...