定积分习题总结

type one：对称性的利用

第一个例子：

1. 拆分积分区间
   原积分为对称区间 ，将其拆分为两部分：
   

2. 对负区间进行变量替换
   对左侧积分 ，令 （即 ），则：
   • 积分上下限变为：，；
   • ；
   • ，因此被积函数变为：
   

   替换后，左侧积分转化为：

第二个例子：

总结：

• 关于原点对称的不一定总是用奇相消、偶翻倍，实际上这个也用不成，这个时候就要考虑对称性拆分了
• 一定要记得使用；

type two：奇相消、偶翻倍

这个是最简单的，不多说

type three：不知道什么名字的公式的运用

有两点需要注意的地方：

1. 看到这种全是的积分形式，不要犹豫，一定是这个公式
2. 替换完之后不要懵，两个式子相等，直接相加，可以全部消掉

type four：比较简单的夹逼准则

这个是逐渐减小的数列，第一项最大，最后一项最小
要想把这个式子夹住
最大的数列，所有项（n个项）都是由第一项组成，也就是
最小的数列，所有项（n个项）都是由最后一个项组成，也就是
这两个数列刚好把题目上的数列夹住

type five：由极限到积分的转化

这种类型也比较简单
• 宽度： 对应积分中的微分 。
• 函数值： 对应函数 在 处的取值。
• 积分区间：当 从 到 时， 从 到 。因此积分区间是 。
详细解释传送门

type six：积分里边是复合函数求导

这种情况先换元，换完元之后积分里边就剩一个f(x)，就按常规求导做

这个答案好像错了，但是不影响我说明这个类型

type seven：判断敛散性

根据后边的式子确定p的值

type eight：Wallis 公式的运用

简单记录一下，具体的看传送门

type nine：伽马函数的运用

伽玛函数定义为：

当 是正整数时，满足：

当是分数时，使用递推公式求结果：

第一道是

第二道是

type ten：求面积、体积

1. 面积的话用长乘宽：长是y，宽是dx，积分区间是x的总长
2. 体积的话用面积乘高：面积（哎呀，面积面积，想吃面筋）
   这里R是y，高是dx，积分区别是x的总长
3. 第三题不会
   
   麻蛋，第三题看不懂

第三题用柱壳法

柱壳法的核心思想

当旋转轴是 ​垂直于积分变量（x轴）的直线​（如 x=2）时，柱壳法更适用。其核心是：

• 将区域分割为无数个 ​竖直薄片​（宽度为 dx）；
• 每个薄片绕旋转轴旋转后形成一个 ​圆柱壳；
• 将所有壳的体积相加（积分）。
  注意积分区间是[0,2]