向量习题总结

type one：拆分所给的向量组

设向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，且$\boldsymbol{\alpha}_1 + a\boldsymbol{\alpha}_2 + 4\boldsymbol{\alpha}_3$, $2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，则$a=$____。
$(\boldsymbol{\alpha}_1 + a\boldsymbol{\alpha}_2 + 4\boldsymbol{\alpha}_3, 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3) = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1\end{pmatrix}$
线性相关的意思是
其中一个向量可以用其他向量表示；
这个向量组组成的矩阵不是满秩；
以二维平面和三维空间举例，用x、y平面的向量表示不了z轴那个层面的向量

线性相关举例说明

设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关，$\beta_1$可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示，但$\beta_2$不可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示，则（）。

（A）$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{m-1},\beta_1$线性相关

（B）$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{m-1},\beta_1,\beta_2$线性相关

（C）$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1+\beta_2$线性相关

（D）$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,\beta_1+\beta_2$线性无关
这一题
$\beta_2$不可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示，说明$\beta_2$相比于那个向量组多了一个空间维度，所以选项含有$\beta_2$都是线性无关的

再补充一个例子说明拆分和相关
设向量组$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，证明：$\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+3\boldsymbol{\alpha}_3$, $\boldsymbol{\alpha}_1+4\boldsymbol{\alpha}_2+9\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关。
令$A=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3})$，$B=(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{1}+4\boldsymbol{\alpha}_{2}+9\boldsymbol{\alpha}_{3})$，

则$B=A\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&9\end{pmatrix}$。因为$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&9\end{pmatrix}$可逆，所以$r(B)=r(A)=3$，

故$\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{1}+4\boldsymbol{\alpha}_{2}+9\boldsymbol{\alpha}_{3}$线性无关。

type two：求过渡矩阵

设$\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\varepsilon}_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{\varepsilon}_{3}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$和$\boldsymbol{e}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{e}_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{e}_{3}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$为三维空间的两组基，则从基$\boldsymbol{\varepsilon}_{1}$,$\boldsymbol{\varepsilon}_{2}$,$\boldsymbol{\varepsilon}_{3}$到基$\boldsymbol{e}_{1}$,$\boldsymbol{e}_{2}$,$\boldsymbol{e}_{3}$的过渡矩阵为_______.

有点像是矩阵变换的逆变换
左乘是行变换，右乘是列变换
解 令过渡矩阵为$Q$，则$(e_1,e_2,e_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)Q$，则$Q=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)^{-1}(e_1,e_2,e_3)$。

由$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-2\\1&1&0\\-2&-4&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&-2\\0&1&0&2&5&1\\0&0&1&-2&-4&1\end{pmatrix}$，

得过渡矩阵为$Q=\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&5&1\\-2&-4&1\end{pmatrix}$。

$(e_1,e_2,e_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)Q$，则$Q=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)^{-1}(e_1,e_2,e_3)$
这一步总是忘，哎
求$Q=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)^{-1}(e_1,e_2,e_3)$这一步的时候
按顺序把这俩写到一个矩阵里边，然后做初等变换得出结果

例题二
设三维向量空间$\mathbb{R}^{3}$中的向量$\xi$在基$\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)$下的坐标为$(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$，在基$\boldsymbol{\beta}_{1}$,$\boldsymbol{\beta}_{2}$,$\boldsymbol{\beta}_{3}$下的坐标为$(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}$，且

$$\left\{\begin{array}{l} y_{1}=x_{1}-x_{2}-x_{3}, \\ y_{2}=-x_{1}+x_{2}, \\ y_{3}=x_{1}+2x_{3}, \end{array}\right.$$

求从基$\boldsymbol{\beta}_{1}$,$\boldsymbol{\beta}_{2}$,$\boldsymbol{\beta}_{3}$到基$\boldsymbol{\alpha}_{1}$,$\boldsymbol{\alpha}_{2}$,$\boldsymbol{\alpha}_{3}$的过渡矩阵。
解 因为$\xi=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})X$, $\xi=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})Y$，由$y_{1}=x_{1}-x_{2}-x_{3}$, $y_{2}=-x_{1}+x_{2}$, $y_{3}=x_{1}+2x_{3}$得$Y=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}X$，由$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})X=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})Y$，得

$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})X=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})Y=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}X$，

于是$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$，

故从基$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$到基$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$的过渡矩阵为$\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&2\end{pmatrix}$。

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ps
正交的意思是两个向量点乘等于零，就是两个向量对应的坐标相乘相加等于0