微分方程习题总结

type one：几何关系列出等式解方程

第一道：
曲线 y=f(x) 上点 P(x,y) 处的切线的斜率等于该点坐标之积的两倍，且该曲线过点 (0,2), 则 $f(x) =$ .
解：由题意得 $y' = 2xy$ , 即 $y' - 2xy = 0$ , 解得 $y = C e^{-\int (-2x) \mathrm{d}x} = Ce^{x^2}$ ,

因为该曲线过点 $(0,2)$ , 所以 $C = 2$ , 故 $f(x) = 2e^{x^2}$ .
第二道：
设位于第一象限的曲线 $y = f(x)$ 上任意一点 $P(x,y)$ 的切线在 $x$ 轴上的截距等于该点法线在 $y$ 轴上的截距的相反数，且曲线经过点 $(1,0)$ , 求该曲线.
解：设切线方程为 $Y - y = y'(X - x)$ , 令 $Y = 0$ 得 $X = x - \frac{y}{y'}$ ;

法线方程为 $Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$ , 令 $X = 0$ 得 $Y = y + \frac{x}{y'}$ ,

由题意得 $x - \frac{y}{y'} = -(y + \frac{x}{y'})$ , 解得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{y - 1}{x}}{\frac{y}{y + 1}}$ ,

令 $u = \frac{y}{x}$ , 代入得 $u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{u - 1}{u + 1}$ , 分离变量得 $\frac{u + 1}{u^2 + 1} \mathrm{d}u = -\frac{\mathrm{d}x}{x}$ , 两边积分得

$\frac{1}{2} \ln(u^2 + 1) + \arctan u = -\ln x + C$ ,

将初始条件 $f(1) = 0$ 代入得 $C = 0$ , 故所求曲线为 $\frac{1}{2} \ln(\frac{y^2}{x^2} + 1) + \arctan \frac{y}{x} = -\ln x$ .

对于第二题，思路大概是这个思路，但是有一点别扭的就是字母的表示，可以把P点的坐标设为(a,b),其他字母还沿用以前的习惯
这种类型不难，关键在于吃透题目想要表达的等式是啥

type two：整体代换解方程

关键在于令 $u=\frac{y}{x}$ ,只要想到这一步这种类型就好解了

type three：根据线性微分方程解的结构构造方程组解未知数

第一个式子 $p - q = 0$
令：

$py_1 - qy_2 = k(y_1 - y_2) \quad (\text{其中 } k \text{ 为常数}),$

则需满足系数关系：

$p = k, \quad -q = -k \quad \Rightarrow \quad p = q.$

第二个式子 $p + q = 1$
题目还要求 $py_1 + qy_2$ 是非齐次方程的解。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 本身是非齐次方程的特解，它们的线性组合要成为非齐次方程的解，需满足：

$p \cdot Q(x) + q \cdot Q(x) = Q(x) \quad \Rightarrow \quad (p + q)Q(x) = Q(x).$

因 $Q(x) \neq 0$ ，故 $p + q = 1$ 。

直接来源于线性微分方程解的结构理论：
• 第一条方程 $p = q$ 来自齐次方程解的性质（即非齐次解之差为齐次解）；
• 第二条方程 $p + q = 1$ 来自非齐次解的线性组合需保留非齐次项 $Q(x)$ 。
详细解释
还有一道：

为什么这一个选择 $\frac{1}{2}$ 这个线性组合？
我感觉没啥技巧，还是知道了这个结论之后看着答案猜出来的

type four：解常系数线性非齐次微分方程

虽然知道解题步骤，但还是超级超级麻烦可容易弄错
肖佳乐你一定要记住符号的规律，不要随意替换
特征方程用r，先写出对应齐次方程通解的形式！！！然后看e右上角x的系数 $\lambda$ ，然后看 $\lambda$ 和几个r一样，有几个一样，那么k就是几
然后参数都出来了，就设特解，求导，带入计算
具体步骤传送门