为什么特解的差是齐次方程的解

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为什么特解的差是齐次方程的解？

1. 理论基础

对于 线性非齐次微分方程：

若已知两个特解 和 ，则它们的差 必为对应的 齐次方程：

的解。

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2. 数学推导

• 代入 和 到非齐次方程：

• 将两式相减：

• 即：

这说明 满足齐次方程。

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4. 直观理解

• 非齐次方程的特解：描述了方程在特定外力 下的行为。
• 齐次方程的解：描述了系统本身的固有性质（与外力无关）。
• 差的意义：两个特解之间的差异仅由系统本身的性质决定，因此必须满足齐次方程。

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总结

特解的差消去了非齐次项 ，仅保留系统内在的齐次特性。这是线性微分方程的核心性质之一，体现了 叠加原理 在解结构中的应用。