二重积分习题总结

标题: 二重积分习题总结
作者: lele
创建于: 2025-04-14 19:38:23
更新于: 2025-04-14 20:41:05
链接: https://letongzhuo.cn/posts/20250414193823.html
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本质还是和之前的积分一样，传送门
提出来一个 $或者$ 当 $或者，或变成或$
哎呀，其实都一样，就是一个变成了两个
跳过

第一道
从-1到1，x的范围对称，所以看被积函数关于x的奇偶性，第一个项是偶函数，所以这一部分翻倍，第二项是奇函数，所以抵消

第二道
积分区域关于x、y轴对称
把被积函数展开， $，$ 偶函数翻倍，光看x是奇函数，所以抵消，就不用看y了，x和y就看一个，哪个起作用看哪个

这种类型不管长的多唬人都有两个东西
一个是等价无穷小替换或者泰勒展开，另一个是洛必达
先把分母无穷小替换了，然后洛必达
对于分母可以变成极坐标下的二重积分，θ可以直接算出来，后边变成了关于ρ的积分，直接根据这个技巧求导

可以想到后边那个二重积分的项就是一个常数，直接写成C
然后对进行积分，算到最后就剩一个C是未知数
然后解方程就出来了

唉😮‍💨，吃一堑长一堑的题型，总是想不起来这个特性
积分区域关于y=x对称的话，被积分函数的xy可以呼唤位置结果还不变，换之前的式子和换之后的式子相加刚好可以消掉

还有一道

可烦，课本上二重积分和三重积分是一章
接力题典上三重积分和曲线曲面积分是一章
总结都不好总结
而且二重积分的内容就这一点，五个题型反反复复出