二重积分、三重积分、重积分应用
二重积分的计算法
直角坐标
以这道题说明方法
先对Y积分，因为Y的范围一下就看出来了，而且对X的范围用y表示的时候也比较方便
也可以换一下积分顺序，但是比较麻烦
有的原函数不能用初等函数表示，所以积分顺序是唯一的，弄错了就积不出来
利用对称性和奇偶性简化计算
积分区域关于x轴对称时，被积函数是关于y的奇函数可以抵消，偶函数翻倍
关于y轴对称时也一样
以
积分区域关于x轴对称，关于y的奇函数，一半体积向上，一半向下，抵消了
极坐标
对x和y的积分变成了对θ和ρ的积分
判断θ的范围：以x轴的正方向为标准，从0开始，
判断ρ的范围：如果积分区域是一个以原点为中心的圆，那ρ的范围就是0 ~ ρ，如果积分区域是一个与坐标轴相切的圆，那ρ的范围就是0 ~ 直径乘上cos θ或者sin θ
用极坐标积分的时候，
三重积分的计算法
超级可恶的知识点，积分区域还得考想象
直角坐标
投影法
看情况把积分区域投影到坐标轴的平面
举个例子：积分区域为
我感觉积分区域贴着哪个平面就把这个投影都哪个平面
画出x，y的坐标轴，然后以这个坐标轴为地基想象那个图形
看xoy平面的投影，x的范围是[-1,1],y的范围从左边
截面法
找出来一个和坐标轴围成的那三个平面平行的一个截面，然后对垂直那个平面的坐标轴的参数积分，我去，天呐，我在乌拉什么，希望明天我能看懂
算了，放一个题叭
其实就是算一个截面的面积，然后对最后一个参数积分
对称性和奇偶性
关于xoy平面对称时，被积函数是关于z的奇函数，积分相消，偶函数翻倍
我好想找到文字规律了，但是我还是不理解为啥，不像一元函数积分那样直观，画个图就能看见
关于y对称，那就看被积函数的x
关于xoy对称，那就看被积函数的z有你没我，有我没你定理
柱面坐标
柱面坐标像是极坐标和直角坐标的结合，底面用极坐标表示，就一个z轴用直角坐标积分
θ的取值范围还是用一个能够包住底面图形的范围表示
ρ的取值在以原点为圆心的底面时范围在0~腰围最大的那一圈在底面投影的长度
圆心不在原点的话，范围还跟极坐标那个一样
z的取值范围，从下底面到顶面，还是用ρ表示的
球面坐标
这个用r来代替ρ了，r sin φ等于投影到底面的长度
这个长度乘以cos θ是x，乘以sin θ是y
z就是直接r cos φ
重积分的应用
😭终于到最后了
曲面的面积
看不懂，一点点都看不懂，直接记公式叭
求
贴一道题
其实弄到还是看着底面投影进行积分，好难
质心
先求出来薄片的面积，然后对x和y进行积分(
求出来的这两积分，分别除以面积就是质心的横纵坐标
转动惯量
直接上公式，如果是只有x，y的坐标轴，那就把z给去了，其他都一样
- 标题: 二重积分、三重积分、重积分应用
- 作者: lele
- 创建于 : 2025-04-10 15:58:23
- 更新于 : 2025-04-10 20:21:19
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